コンコルド

 

楕円関数シリーズの際にも紹介した下記の本、楽しいです。この本にはデデキントのイータ関数の保型性が、重さ2のアイゼンシュタイン級数(の類似)と関係していることが書いてあります。

楕円曲線と保型形式

楕円曲線と保型形式

  • 作者: N.コブリッツ,上田勝
  • 出版社/メーカー: 丸善出版
  • 発売日: 2012/07/17
  • メディア: 単行本
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アイゼンシュタイン級数は重さ4以上でしか定義されませんが、重さ2の場合、類似物を定義することができます。それが(%o2)です。

(%i1) E2(z):=1-24*sum(n*q^n/(1-q^n),n,1,inf),q^n=exp(2*%i*%pi*n*z)$
(%i2) E[2](z)=E2(z);
$$ ag{%o2} E_{2}(z)=1-24,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{1-e^{2,i,pi,n,z}}} $$

重さ4以上のアイゼンシュタイン級数はその重さのモジュラー形式になりますが、類似物の方は、モジュラー形式と類似の関数等式が成立します。それが(%o3)です。右辺の最後の項が余分ですが、重さ2では必要です。
(%i3) E[2](-1/z)=z^2*E[2](z)+6*z/(%pi*%i);
$$ ag{%o3} E_{2}(-frac{1}{z})=z^2,E_{2}(z)-frac{6,i,z}{pi} $$

この関係式を使うとデデキントのイータ関数の保型性(の一部)を示すことができます。具体的には、ちょっと下の方ですが(%o8)がそれです。ただその前に定義(%o2)を使って(%o3)を少し変形しておきます。
(%i4) %,E[2](z):=E2(z);
$$ ag{%o4} 1-24,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^ {- frac{2,i,pi,n}{z} }}{1-e^ {- frac{2,i,pi,n}{z} }}}=z^2,left(1-24,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{1-e^{2,i,pi,n,z}}} ight)-frac{6,i,z}{pi} $$
(%i5) ratsimp(%);
$$ ag{%o5} 1-24,sum_{n=1}^{infty }{frac{n}{e^{frac{2,i,pi,n}{z}}-1}}=frac{24,pi,z^2,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{e^{2,i,pi,n,z}-1}}+pi,z^2-6,i,z}{pi} $$
(%i6) distrib(%);
$$ ag{%o6} 1-24,sum_{n=1}^{infty }{frac{n}{e^{frac{2,i,pi,n}{z}}-1}}=24,z^2,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{e^{2,i,pi,n,z}-1}}+z^2-frac{6,i,z}{pi} $$

上記の(%o6)が重要です。覚えておいてください。

 

デデキントのイータ関数、数論ではよく見かける関数です。特に谷山志村対応で登場する保型形式の例はこのイータ関数の適当な積となっているものが多く使われます。
(%i7) ETA:eta(z)=exp(2*%i*%pi*z/24)*product(1-exp(2*%pi*%i*z*n),n,1,inf);
$$ ag{%o7} etaleft(z ight)=e^{frac{i,pi,z}{12}},prod_{n=1}^{infty }{left(1-e^{2,i,pi,n,z} ight)} $$

例えば

の例は(etaleft(4,z ight)^2,etaleft(8,z ight)^2)とかけますね。

 

今回証明したいのは(%o8)となります。
(%i8) eta(-1/z)=sqrt(-%i*z)*eta(z);
$$ ag{%o8} etaleft(-frac{1}{z} ight)=sqrt{-i,z},etaleft(z ight) $$

この式の両辺を対数微分してみます。まずは左辺から行きます。
(%i9) ETA,z:-1/z;
$$ ag{%o9} etaleft(-frac{1}{z} ight)=e^ {- frac{i,pi}{12,z} },prod_{n=1}^{infty }{left(1-e^ {- frac{2,i,pi,n}{z} } ight)} $$
(%i10) log(%),logexpand:all;
$$ ag{%o10} log etaleft(-frac{1}{z} ight)=sum_{n=1}^{infty }{log left(1-e^ {- frac{2,i,pi,n}{z} } ight)}-frac{i,pi}{12,z} $$
(%i11) diff(%,z),ratsimp;
$$ ag{%o11} frac{frac{d}{d,z},etaleft(-frac{1}{z} ight)}{etaleft(-frac{1}{z} ight)}=-frac{24,i,pi,sum_{n=1}^{infty }{frac{n}{e^{frac{2,i,pi,n}{z}}-1}}-i,pi}{12,z^2} $$
(%i12) LETA:distrib(%);
$$ ag{%o12} frac{frac{d}{d,z},etaleft(-frac{1}{z} ight)}{etaleft(-frac{1}{z} ight)}=frac{i,pi}{12,z^2}-frac{2,i,pi,sum_{n=1}^{infty }{frac{n}{e^{frac{2,i,pi,n}{z}}-1}}}{z^2} $$

 

次に(%o8)の右辺を対数微分してみます。
(%i13) ETA*sqrt(-%i*z);
$$ ag{%o13} sqrt{-i,z},etaleft(z ight)=sqrt{-i,z},e^{frac{i,pi,z}{12}},prod_{n=1}^{infty }{left(1-e^{2,i,pi,n,z} ight)} $$
(%i14) log(%),logexpand:all;
$$ ag{%o14} log etaleft(z ight)+frac{log z+log i+log left(-1 ight)}{2}=sum_{n=1}^{infty }{log left(1-e^{2,i,pi,n,z} ight)}+frac{log z+log i+log left(-1 ight)}{2}+frac{i,pi,z}{12} $$
(%i15) diff(%,z),ratsimp;
$$ ag{%o15} frac{2,z,left(frac{d}{d,z},etaleft(z ight) ight)+etaleft(z ight)}{2,z,etaleft(z ight)}=frac{24,i,pi,z,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{e^{2,i,pi,n,z}-1}}+i,pi,z+6}{12,z} $$
(%i16) RETA:distrib(%);
$$ ag{%o16} frac{frac{d}{d,z},etaleft(z ight)}{etaleft(z ight)}+frac{1}{2,z}=2,i,pi,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{e^{2,i,pi,n,z}-1}}+frac{1}{2,z}+frac{i,pi}{12} $$

 

(%o8)の右辺と左辺の対数微分が等しいことを示したいです。そのため等しいとおいた(%o17)を同値変形すると(%o6)になることを示します。
(%i17) rhs(LETA)=rhs(RETA);
$$ ag{%o17} frac{i,pi}{12,z^2}-frac{2,i,pi,sum_{n=1}^{infty }{frac{n}{e^{frac{2,i,pi,n}{z}}-1}}}{z^2}=2,i,pi,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{e^{2,i,pi,n,z}-1}}+frac{1}{2,z}+frac{i,pi}{12} $$
(%i18) %*12*z^2/(%i*%pi),ratsimp;
$$ ag{%o18} 1-24,sum_{n=1}^{infty }{frac{n}{e^{frac{2,i,pi,n}{z}}-1}}=frac{24,pi,z^2,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{e^{2,i,pi,n,z}-1}}+pi,z^2-6,i,z}{pi} $$
(%i19) distrib(%);
$$ ag{%o19} 1-24,sum_{n=1}^{infty }{frac{n}{e^{frac{2,i,pi,n}{z}}-1}}=24,z^2,sum_{n=1}^{infty }{frac{n,e^{2,i,pi,n,z}}{e^{2,i,pi,n,z}-1}}+z^2-frac{6,i,z}{pi} $$

 

これで(%o8)の右辺と左辺の対数微分が等しいことがわかりました。従って右辺と左辺は関数として定数倍の違いとなります。そこで(z=i)の場合を考えればその定数が1となることがわかります。